國際象棋有許多不同方面，可以用數學形式化。至少從19世紀開始，國際象棋就已經被視為推動數學創新的資源。因此，在討論國際象棋的數學特徵時，不是我們要討論的單一模型，它抓住了每個功能，而是許多模型，其中每個模型的功能都與之相反。 放手與該分析無關的國際象棋的某個方面。

也許最早的成功（不算盤中的米粒）是策爾梅洛定理（是採埃孚集理論的創始人之一）指出，在國際象棋中，“要么白方可獲勝，要么黑方可獲勝，或者雙方均可至少平局”。

組合遊戲理論（由著名數學家約翰·H·康威，埃爾溫·貝萊坎普和理查·蓋伊開發）已成功應用於國際象棋。但是，該理論中有兩個假設與它在國際象棋上的普遍適用性背道而馳。一個是CGT的勝利僅在於您的對手無法移動而不能解決僵局。其次，存在“允許移動”（例如，檢查）的概念，其中如果一個人玩，則另一個玩家必須做出響應，而不是第一個玩家再次玩。但是Noam Elkies通過計算象棋殘局的CGT值得出了一些非平凡的結果-在他的象棋頁面 http://www.math.harvard.edu/~elkies/chess.html中提供了參考：“關於數字和殘局”和“大型棋盤上的典當殘局中的高級木材”。

您提到了群論-很奇怪，組合下的組合遊戲確實形成了一個阿貝爾群！公平地說，上述兩個障礙確實阻止了國際象棋本身的這種行為。

圍繞棋盤進行了大量的組合工作。瓦茨拉夫·科特索韋茨（Vaclav Kotesovec）在網上出版了800頁的書，書上的內容是正好，這不涉及棋類的攻擊（廣泛地概括了8個皇后問題）。請參閱 http://www.kotesovec.cz/以獲得鏈接。這與魔術方塊，實驗設計等有關。

從芬蘭開始，從埃洛·邦斯多夫（Eero Bonsdorff）開始，在列舉路徑的國際象棋問題上有很長的血統，它在計算到達某個位置的方式數量。這通常涉及對Standard Young Tableaux的分析，該分析也支持對稱組的表示理論。斐波那契數，加泰羅尼亞數和歐拉數都經常在這裡找到，以及其他組合的標識，可以在巧妙的國際象棋組合中找到它們的實現。請參見 https://pdb.dieschwalbe.de/search.jsp，然後在搜索框中輸入g ='mathematics'。

騎士的旅遊問題也以幫助他人而聞名。推動漢密爾頓圖的研究，尤其是對此類對象的數量進行計數的挑戰。參見 https://www.mayhematics.com/t/t.htm。

計算理論還詢問國際象棋是否是確定的。這就是在更大的電路板上佈置多套零件，以嘗試製造與圖靈機相當的機器。這將我們帶到了計算極限的主題，在這裡我要指出的是，如果數學理論完全描述了國際象棋，那麼我們應該比使用國際象棋本身發揮更多的推理能力。這可能使我們能夠逃避當前法律的一些語言挑戰（例如，是否可以定位典當）。

我認為在數學上描述國際象棋慣例如何一致地適用於包括童話象棋在內的象棋問題也具有研究價值。 Guus Rol有一個雄心勃勃的計劃，該計劃將每個轉彎減少到“微階段”，並聲稱能夠高精度地確定在復雜的“追溯”情況下（既需要逆向邏輯又需要向前邏輯）情況下仙境如何相互作用。我不知道他是否會完成他的理論。

我個人希望看到一個更適度的理論，該理論將每一步都視為原子運動，儘管它不能很好地涵蓋童話棋。至少可以涵蓋問題約定的追溯方面，例如castling和ep

數學物理學家羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）大約在2年前發表了一個國際象棋立場，目的是辯稱他長期以來的立場，即人類所展示的是一種根本不同的推理紮根於“可計算功能”的AI所能證明的。即使是隨機理論，也請參見 https://en.chessbase.com/post/a-chess-problem-holds-the-key-to-human-意識

圖，並且蒙特卡洛分析已非常成功地應用於引擎，尤其是最新一代引擎，我認為這不會使它失去被視為數學理論的資格。

還有一種線性代數方法計算動作和位置。 “如果國際象棋是一張圖，它的最大特徵值是多少？”是一個非常現實而有趣的問題。請參見Francois Labelle的網站，網址為 http://wismuth.com/chess/statistics-games.html

線性代數可以成功應用於其他與國際象棋相關的問題，例如一個車隊到底有n次移動，從a1到h8有多少種方式？國王呢？

多年來，Noam Elkies & Richard Stanley一直在合作編寫有關國際象棋和數學的書。我不知道什麼時候最終會出現，或者他們是否已經放棄了。但是在前面鏈接的諾姆的象棋頁面上給出的“數學騎士”也許預示了那本書。理查德·斯坦利（Richard Stanley）是Combinatorics中的佼佼者：請參閱 http://www-math.mit.edu/~rstan/chess/queue.pdf，以及Noam的生日文章 https：/ /arxiv.org/pdf/math/0508645.pdf

已經有Miodrag S. Petkovic撰寫的《數學和國際象棋》一書，但我對其內容不熟悉。 / p>

其中一些想法在Wikipedia頁面中列出： https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Mathematical_chess_problems，還有一個更具體的頁面 https ：//en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_chess_problem。

如果其他人有其他國際象棋和數學示例，請在評論中提及它們，我將嘗試將其納入本回復中。如果有人鏈接說明了我提到的主題，請謝謝。

最後：math.stackexchange.com上有62頁國際象棋條目！

這裡是閱讀博弈論的一些起點，博弈論是最適合於下棋的數學工具。

這是一個光輝的歷史早期博弈論。國際象棋是一種“完美的信息遊戲”，對於這類游戲，可以說有些有趣的事情。例如，請參見此。我還將閱讀克勞德·香農的文章。 香農數給出了遊戲複雜度樹的界限。對於標準象棋，我們有一個棘手的難題，但您可以做一些較小的變形來解決這些較小的遊戲。這是 this的示例。作者聲稱已經解決了較小的5x5國際象棋變體。

不是。至少不是認真的數學家。

它在博弈論中有所涵蓋，但其他方法（例如“群論”）似乎並不適合；儘管可能會發現一些更高維度的非線性類型描述。

所以似乎也沒有包含組和拓撲的代數了，但是如果有人願意嘗試的話，也許可以適合Analysis。但這將是一位高級數學家，他更有可能嘗試解決一個更好的問題，從而導致他們獲得博士學位和工作指導。

我不想這麼說，但是從數學上講，我們在下象棋時非常無聊。對於兩個交替的玩家來說，這是一款完美的信息遊戲，沒有任何不確定性。這意味著國際象棋要么是白贏，要么是黑贏，要么是平局。國際象棋的最佳策略是微不足道的，眾所周知：極小極大。就數學而言，象棋可以解決。

國際象棋不是數學家感興趣研究的對象。數學家關心的問題在某種程度上是無限的：無限的對像或無限多的例子。國際象棋是完全有限的。只有一個國際象棋，它使用一個有限的棋盤，在有限的位置可能有很多。如果國際象棋是合理地下棋的（如果沒有這種假設我們就不能指望它來表徵），那麼遊戲的長度是有限的。 “理性”基本上是指任何一方都有權獲得平局，這意味著遊戲少於5900步，這意味著遊戲數量有限。數學家可能會研究素數，但他們不會研究單個數1827368429。這在文化上很重要，這一事實可能會鼓勵某人嘗試，但是很難看到有人有時間做那麼複雜的事情。這種事情需要數十年的全職工作，如果失敗了，您基本上一無所有。